Moeilijke Sudoku - Sudoku Simpel

Moeilijke sudoku’s

Relatief gemakkelijke en minder simpele Sudoku’s kunnen worden opgelost zonder trucs toe te passen. We gaan nu kijken naar verschillende technieken die ons kunnen helpen als we met de kennis van nu niet verder komen.

Werken met verborgen paren
Eerder heb ik kort iets gezegd over paren: 2 cellen met exact dezelfde 2 kandidaten. Deze kandidaten mogen uit alle overige cellen van de rij, het blok of de kolom waarin ze voorkomen worden verwijderd.

Het is ook mogelijk dat er paren in onze Sudoku staan die we niet meteen zien, omdat er in de betreffende cellen ook andere kandidaten staan.

Kijk naar de volgende rij:

In deze rij zijn de cellen in kolom 4 en 8 de enige twee cellen waar het cijfer 1 en 4 in voorkomen.

Eén van deze cellen heeft dus als oplossing het cijfer 1 en de andere het cijfer 4. We weten niet welk van deze 2 cijfers in welke van deze cellen moet staan, maar wel dat het één van deze twee cijfers moet zijn. Alle andere kandidaten in deze cellen kunnen we dus verwijderen:

Algemeen: Als in een rij, kolom of blok alleen in 2 cellen dezelfde 2 kandidaten staan, naast 1 of meer andere kandidaten, spreken we van een verborgen paar. Als dit het geval is, kun je alle andere kandidaten in deze 2 cellen verwijderen.

Eerder leerden we over een ‘gewoon’ paar (ook wel naakt paar genoemd) het volgende:

als er in één regel, kolom of blok twee cellen met alleen twee exact dezelfde kandidaten voorkomen, kun je die kandidaten in alle andere cellen van de rij, kolom of het blok verwijderen.

Werken met triples
Tot nu toe was de meest geavanceerde techniek het werken met paren. Volgens hetzelfde principe kunnen we ook werken met drietallen die 3 keer voorkomen: ‘triples’.

Zoals we eerder zagen kunnen we in een rij, blok of kolom waarin alleen exact dezelfde 2 kandidaten in 2 cellen voorkomen, op alle andere plaatsen in deze rij, in dit blok of in deze kolom deze twee kandidaten verwijderen. Dit principe kunnen we doortrekken naar 3 kandidaten die 3 keer voorkomen. Als dit het geval is spreken van een triple.

In de praktijk zijn er 3 soorten triples: naakte triples, verborgen triples en triples van tweetallen.

Naakte triples
Kijk naar het onderstaande voorbeeld:

In cel R1 K3, R2 K2 en R3 K2 staan 3 kandidaten en wel telkens dezelfde 3 kandidaten (1, 3 en 5). Dit betekent dat deze kandidaten in dit blok nergens anders voor kunnen komen.

Immers: als R1 K3 de waarde 1 zou hebben, zouden de twee andere genoemde cellen nog slechts een 3 of een 5 kunnen bevatten. Eén van deze cellen moet dus een 3 bevatten en de andere een 5. M.a.w. de cijfers 3 en 5 kunnen niet in een andere cel in dit blok voorkomen.

Uiteraard geldt deze redenering ook als we uitgaan van het cijfer 3 of 5 in R1 K3. Deze 3 cellen bevatten het cijfer 1, 3 of 5 en die kunnen dus niet in de andere cellen staan.

We kunnen dus de 5 uit R1 K1, de 1 uit R3 K1 en de 3 en de 5 uit R3 K3 als kandidaat verwijderen. Hieronder zie je het resultaat:

Dit voorbeeld is gebaseerd op een blok, maar precies hetzelfde geldt uiteraard voor een rij en voor een kolom.

Algemeen: Voor een naakte triple geldt dat we alle cijfers waaruit de triple bestaat mogen verwijderen in de overige cellen van de rij, het blok of de kolom waarin we de naakte triple gevonden hebben.

Naakte triples zijn redelijk makkelijk te vinden, maar komen zelden voor. Veel vaker treffen we triples aan die verborgen zijn tussen andere kandidaten en dus veel moeilijker te spotten zijn.

Verborgen triples
Kijk naar onderstaand voorbeeld. We zien hier een rij, maar ook hier geldt voor een kolom en voor een blok hetzelfde.

Probeer de ‘verborgen triple’ in dit voorbeeld te vinden!

Hieronder zie je het resultaat:

Verborgen triples bestaan uit 3 kandidaten die slechts in 3 cellen in een rij, kolom of blok voorkomen en alleen daar! Zij hebben dus geen impact voor de overige cellen van rij, kolom of blok, maar voor de cellen waarin de triple zich bevindt! Alle andere kandidaten dan die van de triple mogen verwijderd worden uit de 3 cellen van de triple. Immers als één van de andere kandidaten in kolom 2 (bijvoorbeeld het cijfer 3) de oplossing zou zijn, kunnen we de cijfers 4, 6 en 7 niet meer alle drie in een cel in deze rij als oplossing invullen. Daar hebben we 3 cellen voor nodig.

Hieronder zie je het gevolg van de gevonden triple:

Overigens hoeven bij een triple niet alle 3 de kandidaten precies 3 keer voor te komen. In een cel kunnen bijvoorbeeld 2 van de 3 triple-kandidaten voorkomen. Zoek hieronder de triple!

Het antwoord is 1, 4 en 5. Het kandidaat-cijfer 1 komt maar 2 keer voor. De cijfers 4 en 5 drie keer.

We kunnen dus alle overige kandidaten uit de betreffende cellen verwijderen:

Algemeen: Verborgen triples bestaan uit 3 kandidaten die slechts in 3 cellen in een rij, kolom of blok voorkomen en alleen daar! Zij hebben dus geen impact voor de overige cellen van rij, kolom of blok, maar voor de cellen waarin de triple zich bevindt! Alle andere kandidaten dan die van de triple mogen verwijderd worden uit de 3 cellen van de triple.

Triples van tweetallen
Regelmatig zien we in een Sudoku 3 cijfers verspreid over 3 paren terugkomen. Ook dit noemen we een triple. Kijk naar het voorbeeld hieronder:

Goed gezien! De cijfers 1, 2 en 7 komen in wisselende tweetallen voor in 3 cellen. Zie de figuur hieronder.

Dit betekent dat alle enen, tweeën en zevens in andere cellen in dit blok (had ook een rij of kolom kunnen zijn) geschrapt mogen worden (zie de oranje cijfers). Immers: als de cel linksboven een 7 zou zijn, wordt de cel in het midden automatisch een 1. Dat heeft dan weer tot gevolg dat de cel linksonder een 2 wordt. Met andere woorden: deze 3 cellen bevatten of een 1, of een 2, of een 7. We weten op grond van deze informatie nog niet in welke cel de 1 de 2 en de 7 komen, maar wel dat het één van deze 3 cellen moet zijn.

Als we deze (oranje) cijfers verwijderen uit de overige cellen hebben we meteen een oplossing voor enkele cellen en als gevolg daarvan voor alle cellen buiten deze triple:

Algemeen: als je in een blok, rij of kolom 3 tweetallen ziet bestaande uit in totaal 3 verschillende cijfers volgens het schema AB, BC, AC, kun je die cijfers uit alle overige cellen van het blok, de rij of de kolom verwijderen.

Het werken met triples brengt ons weer een flink stuk verder bij het oplossen van minder eenvoudige sudoku’s. Echt moeilijke Sudoku’s zul je met deze en andere eerder besproken technieken niet helemaal op kunnen lossen. Daarvoor zijn een aantal aanvullende technieken nodig, die ik hieronder zal bespreken:

X-wing, Y-wing, unieke rechthoek en scenario’s.

X-wing
Bij een X-wing gaat het om 4 cellen in de Sudoku die samen een vierhoek (vierkant of rechthoek) vormen en zich niet alle vier in één blok bevinden. Alle 4 deze cellen bevatten één gemeenschappelijke kandidaat, die niet voorkomt in de overige cellen van de 2 rijen of de twee kolommen waarin deze cijfers staan. Bijvoorbeeld:

De 4 cellen kunnen we verbinden met een X, vandaar de naam x-wing. We zien hier blok 3 en een deel van blok 6. Om hier sprake te laten zijn van een X-wing mogen er in R2 én in R4 verder geen drieën als kandidaat voorkomen of in K7 én in K9. Laten we even uitgaan van de kolommen 7 en 9. Als hier verder geen kandidaten 3 voorkomen, weten we dat slechts één van de gele cellen in K7 een 3 mag bevatten en dat geldt ook voor K9. Verder weten we dat dit nooit twee cellen in dezelfde rij kunnen zijn (en ook niet in hetzelfde blok trouwens).

We hebben dus één van de situaties hieronder:

Nu komt de grap van een x-wing: bovenstaande betekent dat er verder geen 3 kan staan in R2 en in R4, want in elke rij mag elk cijfer slechts 1 keer voorkomen. Ik hoop nu voor je dat er wel kandidaat drieën staan in het onzichtbare deel van R2 en R4, want dan weten we dus nu dat we die kunnen schrappen!

We zijn ervan uitgegaan dat de drieën uit de eerste figuur de enige zijn in K7 en K9, maar het kan natuurlijk ook zo zijn dat de rijen R2 en R4 verder geen cijfers 3 bevatten als kandidaat, maar de kolommen K7 en K9 wel. In dat geval gelden de beide situaties hierboven ook: één van de twee is correct en er kan dus verder geen kandidaatcijfer 3 voorkomen in K7 en K9. We schrappen in dat geval alle overige drieën in K7 en K9.

Hieronder volgt nog een voorbeeld van een X-wing. Voor de duidelijkheid heb ik alle cellen die niets met de X-wing te maken hebben leeg gelaten. Je mag ervanuit gaan dat er geen kandidaten van het cijfer 3 voorkomen in de gele kolommen behalve die in de gevulde cellen. Kijk eens of je de x-wing ziet. Wat kun je concluderen?

Juist: de cijfers 3 in de oranje cellen mogen geschrapt worden.

In tegenstelling tot de overzichtelijke plaatjes hier zul je in werkelijkheid alleen een X-wing kunnen vinden als alle kandidaten in alle cellen ingevuld zijn! Anders weet je natuurlijk niet of een kandidaat vaker voorkomt in een rij of kolom.

Ik hoor je denken: dat is leuk en aardig, maar hoe vind ik die dingen in hemelsnaam?

Ik vertel je hier een systematiek die altijd werkt:

Zorg eerst dat je alle cellen hebt voorzien van een oplossing of van alle mogelijke kandidaten. Start met Rij 1. Scan deze op kandidaatcijfers die precies 2 keer voorkomen. Vind je er geen, ga dan verder bij rij 2, etc. Zodra je zo’n tweetal gevonden hebt, trek je de lijnen verticaal door naar beneden om te kijken of dit cijfer op een andere rij precies in dezelfde kolommen voorkomt en ook alleen in die kolommen. Is dit het geval, dan heb je een X-wing gevonden. Verwijder de kandidaten in de kruisende kolommen. Check nu of er in deze rij nog meer kandidaatcijfers exact 2 keer voorkomen. Doe ook hiervoor de X-wing-check, etc. Ga daarna verder met de volgende rij, tot je alle rijen hebt gehad.

Begin dan met K1. Scan deze op kandidaatcijfers die precies 2 keer voorkomen. Vind je er geen, ga dan verder bij kolom 2, etc. Zodra je zo’n tweetal gevonden hebt, trek je de lijnen horizontaal door naar rechts om te kijken of dit cijfer in een andere kolom precies in dezelfde rijen voorkomt en ook alleen in die rijen. Is dit het geval, dan heb je een X-wing gevonden. Verwijder de kandidaten in de kruisende rijen. Check nu of er in deze kolom nog meer kandidaatcijfers exact 2 keer voorkomen. Doe ook hiervoor de X-wing-check, etc. Ga daarna verder met de volgende kolom, tot je alle kolommen hebt gehad.

Als je bovenstaande procedure consequent toepast, zie je nooit een X-wing over het hoofd. Dit kan je enorm helpen om Sudoku’s tot een goed einde te brengen.

Algemeen: als alle kandidaten in alle cellen ingevuld zijn kun je zoeken naar X-wings om kandidaten uit te sluiten. Bij een X-wing gaat het om 4 cellen in de Sudoku die samen een vierhoek (vierkant of rechthoek) vormen en zich niet alle vier in één blok bevinden.

Alle 4 deze cellen bevatten één gemeenschappelijke kandidaat, die niet voorkomt in de overige cellen van de 2 rijen waarin deze cijfers staan. We mogen dit cijfer als kandidaat schrappen in alle overige cellen van de 2 kolommen die onze X kruisen.

Alle 4 deze cellen bevatten één gemeenschappelijke kandidaat, die niet voorkomt in de overige cellen van de 2 kolommen waarin deze cijfers staan. We mogen dit cijfer als kandidaat schrappen in alle overige cellen van de 2 rijen die onze X kruisen.

Y-wing
Een Y-wing bestaat uit 3 tweetallen die samen in totaal 3 kandidaten bevatten, waarbij één van deze tweetallen een relatie heeft met beide andere tweetallen, terwijl de beide andere tweetallen onderling geen relatie mogen hebben. Huh? Ik snap dat je dit theoretische verhaal niet kunt begrijpen zonder een voorbeeld.

Kijk naar de gele cellen. Iemand heeft bedacht dat ze de vorm van een Y hebben. Met wat fantasie kun je hier een Y in zien waarvan één pootje ontbreekt. Er zijn echter ook Y-wings mogelijk die meer op een L of V lijken. Hier komen we nog op.

Kijk nu naar cel R3 K7. Deze staat in dezelfde rij als R3 K1 en in hetzelfde blok als R1 K9 en heeft dus met beiden een relatie. Immers een bepaalde waarde in deze cel heeft consequenties voor de mogelijke waarde van de beide andere gele cellen. Als R3 K7 de waarde 3 heeft, kan R1 K9 geen 3 bevatten en wordt dus een 1. Als R3 K7 de waarde 4 heeft Kan R3 K1 geen 4 zijn en wordt dus een 1. Nu komt het geniale van de Y-wing: we weten nu dat of R1 K9 de waarde 1 heeft, of R3 K1 heeft de waarde 1. Kijk even goed of je dit concept snapt! Dit betekent namelijk dat de waarde van de cellen die ‘beïnvloed kunnen worden’ door de waarde van R3 K1 én door de waarde van R1 K9 (de groene cellen in dit voorbeeld) nooit 1 kan zijn. We mogen dus de kandidaatcijfers 1 schrappen uit de groene cellen.

De vorm van deze Y-wing kan natuurlijk net zo goed zijn als in beide onderstaande figuren. Dat verandert niets aan de conclusie hierboven.

Beide vallen gewoon onder het concept Y-wing, net als onderstaande varianten:

Een Y-wing kan niet binnen één blok voorkomen. De Y kan natuurlijk wel verticaal getekend worden:

In dit geval kunnen de enen in R1 K3 en in R2 K3 worden geschrapt.
Dan de vraag: hoe vind je een Y-wing? Dat is niet zo simpel. Wat ik doe is een Sudoku scannen op cellen met 2 kandidaten in één blok, waarvan één kandidaat in beide cellen voorkomt. Dus als de ene cel a en b bevat, zou de tweede bijvoorbeeld b en c moeten bevatten. Als je die vindt, kijk dan in de rij of kolom van beide cellen of er een derde cel met 2 kandidaten is, die a en c bevat.

Zo loop ik alle blokken even na. De Y-wing is een heel krachtige techniek die ons verder brengt als we helemaal vast lijken te zitten. Het is een kwestie van vaak zoeken en ervaring opdoen om er optimaal gebruik van te maken.

Unieke rechthoek
Regelmatig doet zich in een moeilijke Sudoku het verschijnsel voor dat we in 4 cellen 2 identieke kandidaten zien. In 3 ervan staan alleen deze 2 cijfers en in de vierde cel staan naast deze twee cijfers een derde kandidaat. Als deze cellen samen een rechthoek vormen die buiten de grenzen van één blok uitkomt spreken we van een unieke rechthoek. In de cel met 3 kandidaten kunnen we de 2 kandidaten die ook in de andere uiteinden van de rechthoek voorkomen schrappen. Snel naar een voorbeeld:

In bovenstaande situatie weten we zeker dat R4 K8 de waarde 1 heeft! Waarom is dat zo? Uitgangspunt van elke Sudoku is dat er maar één oplossing mogelijk is. Hoewel ik weleens een Sudoku tegen gekomen ben die uiteindelijk 2 correcte oplossingen bleek te hebben, kan dit nooit de bedoeling zijn. Als we ervan uit mogen gaan dat elke Sudoku maar één unieke oplossing kent, kan er in R4 K8 hierboven nooit een waarde 5 of 6 staan! En wel hierom: als we de 1 in deze cel even vergeten zou één van beide onderstaande oplossingen mogelijk zijn en zou de Sudoku dus 2 oplossingen kennen!

Immers: als we linksboven een 5 invullen (zie eerste figuur) moet de cel rechtsboven automatisch een 6 worden, en als gevolg daarvan moet de cel rechtsonder een 5 zijn en linksonder weer een 6. Dit puur omdat in elke rij en in elke kolom elke waarde maar één keer voor kan komen.

Omgekeerd geldt: als we linksboven een 6 invullen (zie tweede figuur) moet de cel rechtsboven automatisch een 5 worden, en als gevolg daarvan moet de cel rechtsonder een 6 zijn en linksonder weer een 5.

Omdat we ervan uit mogen gaan dat elke Sudoku maar één unieke oplossing kent weten we dus dat de cel rechtsonder het cijfer 1 moet bevatten! Welke cellen we mogen vullen met 5 en welke met 6 moet verderop bij het oplossen van de Sudoku blijken.

Varianten op de unieke rechthoek:

De cel die 3 cijfers bevat in een standaard unieke rechthoek, kan ook meer dan 1 extra cijfer bevatten. Ook in dat geval mogen we in deze cel de 2 cijfers die 4x voorkomen in deze vierhoek schrappen. We weten in dat geval niet de oplossing, maar wel dat de 2 cijfers van de vierhoek in ieder geval niet in deze cel voorkomen.
Bij een vierhoek waarvan alle cellen de cijfers x en y bevatten en 2 van deze 4 cellen bevatten beide ook nog het cijfer z, kunnen we concluderen dat één van de cellen die x, y én z bevatten in ieder geval z bevatten. Als deze cellen zich in één rij of kolom bevinden, kunnen we dus alle overige kandidaatcijfers z in deze rij of kolom schrappen.

Werken met scenario’s
Als je al het bovenstaande hebt toegepast en je Sudoku is nog niet helemaal opgelost is er nog de techniek van de ‘zwaardvis’ die ik hier niet bespreek, omdat die nauwelijks te spotten is en ook zo zeldzaam is, dat ik het risico er één over het hoofd te zien maar op de koop toe neem. Bovendien kun je deze Sudoku’s altijd tot een goed einde brengen met de laatste techniek die ik bespreek: werken met scenario’s.

Kijk naar onderstaande Sudoku die ik ontleen aan Denksport Sudoku 8-9 nr. 133 (maart 2021):

Kun je deze oplossen met de eerder beschreven technieken? Gefeliciteerd en stuur me a.u.b. een instructie om deze oplossing ook te zien.

Ik ga er even vanuit dat je met deze Sudoku niet verder komt zonder een nieuwe techniek in te zetten: de scenariomethode. Deze werkt als volgt: schrijf de Sudoku met de bekende waarden en kandidaten met ballpoint over op een vel papier. Zet de kandidaten in de onderste helft van elke cel, zodat je bovenin ruimte overhoudt.

We kiezen nu een cel met 2 kandidaten (bijvoorbeeld R6 K5) en beginnen met het uitwerken van één van de scenario’s:

scenario 1: de waarde is een 2, of
Scenario 2: de waarde is een 5

we beginnen met scenario 1 en gaan er even vanuit dat de oplossing van deze cel een 2 is. Schrijf deze waarde met potlood linksboven in deze cel (hier in blauw weergegeven).

Kijk nu wat dit betekent voor de rest van de Sudoku:

R8 K5 moet een 9 zijn. Schrijf deze met potlood linksboven in de cel,
Dan moet R8 K4 een 2 zijn. Noteer ook deze linksboven,
R6 K4 moet een 5 zijn en dan wordt R3 K4 een 9 zijn
Etc.

Werk zo de Sudoku zo ver mogelijk uit, door alle waarden die het gevolg zijn van deze scenario-keuze met potlood linksboven in de betreffende cellen te schrijven. Afhankelijk van de volgorde waarin we werken komt er een punt waarop we vast moeten stellen dat er iets niet klopt. Hieronder zie je dat de waarde 9 in dit scenario twee keer voorkomt in R4, maar er zijn ook andere situaties te vinden die niet kloppen.

Op het moment dat je dit ziet kun je stoppen. Je hebt nu vastgesteld dat dit scenario niet klopt. M.a.w. we weten nu dat R6 K5 niet de waarde 2 kan bevatten! Omdat er slechts één andere kandidaat in deze cel staat, weten we nu dat deze cel een 5 moet bevatten. We vullen deze in.

Hierdoor kunnen we een aantal stappen verder komen en in dit geval kunnen we de hele Sudoku oplossen:

Gum de cijfers in de opgeloste cellen uit en vervang deze door de ene juiste waarde die je gevonden hebt. In dit geval is dat steeds de groene die we rechtsboven genoteerd hadden.

Bij moeilijkere Sudoku’s gaat dit meestal niet zo snel. Je kunt dan een paar cellen oplossen en komt dan niet verder. Kies dan weer een cel met 2 kandidaten en kies één van beide scenario’s. Werk dit uit door waarden die hieruit volgen linksboven in de cellen te noteren (de blauwe waarden in het voorbeeld hieronder). Er zijn 3 mogelijkheden steeds:

Je vindt een situatie die onmogelijk is: 2 cellen in één kolom, rij of blok met dezelfde waarde. Conclusie: het uitgewerkte scenario klopt niet, dus de andere kandidaat in deze cel is correct. Vul deze in.
Je vult de Sudoku tot het einde in zonder onmogelijke situaties. Conclusie: je hebt de Sudoku opgelost. Gum alle kleine cijfers in de opgeloste cellen uit en vervang deze door de ene juiste waarde die je gevonden hebt.
Het uitwerken van het scenario stopt, zonder dat je onmogelijkheden tegenkomt, maar de Sudoku is ook nog (lang) niet opgelost. Conclusie: je weet nog niet of dit scenario klopt. Laat de links- of rechts boven ingevulde waarden staan en ga verder met scenario 2 voor de cel en vul de waarden die hieruit volgen rechtsboven in de cel in (de groene waarden in het voorbeeld hieronder).

Je hebt nu 4 mogelijkheden:

Je vindt een situatie die onmogelijk is: 2 cellen in één kolom, rij of blok met dezelfde waarde. Conclusie: het uitgewerkte scenario klopt niet, dus de andere kandidaat in deze cel die we als uitgangspunt kozen (die van scenario 1) is correct. Vul deze in.
Je vult de Sudoku tot het einde in zonder onmogelijke situaties. Conclusie: je hebt de Sudoku opgelost. Gum alle kleine cijfers in de opgeloste cellen uit en vervang deze door de ene juiste waarde die je gevonden hebt.
Het uitwerken van het scenario stopt, omdat je verder niets kunt invullen, zonder dat je onmogelijkheden tegenkomt, maar de Sudoku is ook nog (lang) niet opgelost. Conclusie: je weet nog niet of dit scenario klopt. Omdat dat ook geldt voor scenario 1, komen we met deze cel niet verder. Kies een andere cel met 2 kandidaten en begin opnieuw. Bij hele moeilijke Sudoku’s kan deze situatie zich een aantal keren herhalen.
Je komt een cel tegen waarin al een waarde staat uit scenario 1 en deze waarde is hetzelfde als die uit scenario 2.

Bijvoorbeeld:

Conclusie: we mogen deze waarde invullen in deze cel. Immers: als beide scenario’s op dezelfde waarde uitkomen moet deze kloppen. Gum alle kleine cijfers in de opgeloste cel uit en vervang deze door de ene juiste waarde die je gevonden hebt. Puzzel nu op de normale wijze verder, tot je weer vastloopt. Uiteindelijk vind je altijd één van de bovenstaande situaties die je weer een stapje verder brengen, of tot een oplossing leiden.

Bij Sudoku’s die nog moeilijker zijn wordt de scenariomethode ook wat gecompliceerder. Het is soms nodig om alle cellen over te nemen op papier. Behalve de cellen met 2 of 3 kandidaten kan het nodig zijn om ook die met 4 en zelfs 5 kandidaten mee te nemen. Wel neem je altijd een cel met 2 kandidaten als uitgangspunt, zodat je conclusies kunt verbinden aan de gevolgen van één of beide scenario’s.
In dit geval kan het voorkomen dat je in een bepaald scenario één van de 4 kandidaten in een cel kunt schrappen. Dat doe je dan door de overgebleven kandidaten links of rechts boven in de cel te noteren. Het is in zo’n geval dus belangrijk dat je voldoende ruimte hebt in de cellen. Teken je Sudoku-raster dus over de volle breedte van een A4.